[백준 2098: JAVA] 외판원 순회 / dp + 비트 마스크

개요

 

이 문제는 외판원 순회 문제로 TSP(Traveling Salesman Problem) 으로 불린다.

비트 마스크를 dp를 사용할 때 어떻게 활용할 수 있는지 알 수 있는 문제이다.

 

만약 비트 마스크가 뭔지 모른다면 아래의 문제와 풀이를 먼저 보고 오는 것을 추천한다.

https://www.acmicpc.net/problem/11723

11723번: 집합

2020/02/12 - [알고리즘/백준] - [백준 11723 : JAVA] 집합 / 비트마스크

[백준 11723 : JAVA] 집합 / 비트마스크

이 문제는 동적 프로그래밍을 통해서 이전에 구한 값을 통해 현재 원하는 값을 도출해내는 방식이다.

dp[node][visit]을 선언하고 현재 node일 때 visit의 방문 경우 첫번째 노드로 가는데 걸리는 최단거리를 저장한다.

 

문제

 

외판원 순회 문제는 영어로 Traveling Salesman problem (TSP) 라고 불리는 문제로 computer science 분야에서 가장 중요하게 취급되는 문제 중 하나이다. 여러 가지 변종 문제가 있으나, 여기서는 가장 일반적인 형태의 문제를 살펴보자.

1번부터 N번까지 번호가 매겨져 있는 도시들이 있고, 도시들 사이에는 길이 있다. (길이 없을 수도 있다) 이제 한 외판원이 어느 한 도시에서 출발해 N개의 도시를 모두 거쳐 다시 원래의 도시로 돌아오는 순회 여행 경로를 계획하려고 한다. 단, 한 번 갔던 도시로는 다시 갈 수 없다. (맨 마지막에 여행을 출발했던 도시로 돌아오는 것은 예외) 이런 여행 경로는 여러 가지가 있을 수 있는데, 가장 적은 비용을 들이는 여행 계획을 세우고자 한다.

각 도시간에 이동하는데 드는 비용은 행렬 W[i][j]형태로 주어진다. W[i][j]는 도시 i에서 도시 j로 가기 위한 비용을 나타낸다. 비용은 대칭적이지 않다. 즉, W[i][j] 는 W[j][i]와 다를 수 있다. 모든 도시간의 비용은 양의 정수이다. W[i][i]는 항상 0이다. 경우에 따라서 도시 i에서 도시 j로 갈 수 없는 경우도 있으며 이럴 경우 W[i][j]=0이라고 하자.

N과 비용 행렬이 주어졌을 때, 가장 적은 비용을 들이는 외판원의 순회 여행 경로를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

입력

 

풀이

 

visit의 2^0비트 자릿수는 0번째 노드의 방문 여부, 2^1비트 자릿수는 1번째 노드의 방문 여부... 를 나타낸다.

이 문제의 관건은 dp배열을 어떻게 잡느냐이다.

나는 처음에 dp[node][visit] = 0번째 노드 ▶ node까지 visit방문여부로 갈 수 있는 최단거리를 저장했다.

하지만 dp[node][visit] = node ▶ 모두 방문 후 0번째 노드까지 가는 최단거리를 저장하는 편이 더 쉽게 풀 수 있었다.

 

점화식은 다음과 같다.

 

dp[node][visit] = min(dp[node][visit], dp[i][visit | (1 << i)] + arr[node][i])

 

 

코드

import java.io.*;
import java.util.Arrays;
import java.util.StringTokenizer;

public class Main {
    private static final BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    private static final BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
    // 무한대 |v - 1| * maxLength
    private static int INF = 16 * 1_000_000;
    // vertex 수
    static int n;
    // graph 배열
    static int arr[][];
    // dp[node][visit] = k -> 현재 node번에 잇고 visit를 방문하고 왔을 때
    // 0번 노드로 가는 최소의 거리
    static int dp[][];

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        n = Integer.parseInt(br.readLine());
        arr = new int[n][n];
        dp = new int[n][(1 << n) - 1];

        for(int i = 0 ; i < n; i++)
            Arrays.fill(dp[i], INF);

        for(int i = 0 ; i < n ; i++){
            StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());
            for(int j = 0; j < n; j++){
                int value = Integer.parseInt(st.nextToken());
                arr[i][j] = value;
            }
        }

        bw.write(tsp(0, 1) + "\n");

        br.close();
        bw.close();
    }

    private static int tsp(int node, int visit){
        // 모든 지점을 방문한 경우
        if(visit == (1 << n) - 1){
            if(arr[node][0] == 0) return INF;
            return arr[node][0];
        }

        // 이미 계산 했던 경우
        if(dp[node][visit] != INF)
            return dp[node][visit];

        for(int i = 0 ; i < n; i++){
            int next = visit | (1 << i);
            // i번 노드에 대해서 길이 없거나 방문한 경우
            if(arr[node][i] == 0 || (visit & (1 << i)) != 0) continue;

            dp[node][visit] = Math.min(dp[node][visit], tsp(i, next) + arr[node][i]);
        }

        return dp[node][visit];
    }
}